Для решения данного интеграла, давайте воспользуемся методом замены переменной.

Пусть t = x^3 + 5. Тогда dt/dx = 3x^2, или dx = dt / (3x^2).

Теперь подставим значение x^3 = t - 5 и dx = dt / (3x^2) в исходный интеграл:

∫ x^2 / sin(x^3 + 5) dx = ∫ x^2 / sin(t) * dt / (3x^2)
= 1/3 ∫ 1 / sin(t) dt

Теперь мы можем интегрировать по переменной t. Интеграл от 1 / sin(t) равен -ln(cos(t) - tan(t)).

Подставим обратно переменную x:

= 1/3 * -ln(cos(x^3 + 5) - tan(x^3 + 5)) + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл x^2 / sin(x^3 + 5) dx равен:

= -ln(cos(x^3 + 5) - tan(x^3 + 5)) / 3 + C.