Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма: диагонали параллелограмма делятся пополам.

Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD и обозначим середины его сторон как E, F, G, H соответственно (то есть AE = EC, BF = FD, CG = GD, AH = HD).

Проведем диагонали четырёхугольника ABCD: AC и BD. Поскольку E, F, G, H - середины сторон, то отрезки AE, BF, CG, DH делят соответствующие стороны пополам, то есть

AE = EC,
BF = FD,
CG = GD,
AH = HD.

Рассмотрим отрезок AC. Поскольку E и F делят отрезок AC пополам, то по свойству середин в треугольнике, EF || AC. Аналогично, по свойству середин GD || AC и по свойству параллельных прямых EF || GD.

Получаем, что EF || GD и EF = GD.

Аналогично доказывается, что FG || HD и FG = HD.

Таким образом, получили, что EF || GD, EF = GD, FG || HD, FG = HD. Из этого следует, что EFGD - параллелограмм.

Аналогичные рассуждения для диагоналей BD и AC позволяют показать, что EFGH также является параллелограммом.

Таким образом, мы доказали, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.