Для того чтобы найти длину отрезка, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, нужно сначала найти уравнение этой плоскости.

Так как плоскость проходит через точки P1 (2,1,0) и P2 (1,0,4), то можно найти уравнение плоскости по общему уравнению плоскости, в котором коэффициенты A, B, C и D находятся из этих точек.

Уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0.

Найдем вектор нормали к плоскости, используя векторное произведение векторов.

Вектор, заданный двумя точками P1 и P2: P1P2 = (1 - 2, 0 - 1, 4 - 0) = (-1, -1, 4).

Найдем вектор нормали к плоскости: n = P1P2 = (-1, -1, 4).

Нормализуем вектор нормали: n0 = n / ||n|| = (-1/√18, -1/√18, 4/√18).

Подставим координаты одной из точек (например, P1) в уравнение плоскости и найдем D.

Уравнение получится: -1/√18 2 - 1/√18 1 + 4/√18 * 0 + D = 0,
-2/√18 - 1/√18 + D = 0,
-3/√18 + D = 0,
D = 3/√18 = √2.

Таким образом, уравнение плоскости имеет вид: -x/√18 - y/√18 + √2 = 0.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с осями x и y.

a) С осью ординат (ось y) плоскость пересекается в точке, где x = 0 и z = 0:
-0/√18 - y/√18 + √2 = 0,
y/√18 = √2,
y = 18√2.

b) С осью аппликат (ось x) плоскость пересекается в точке, где y = 0 и z = 0:
-x/√18 - 0/√18 + √2 = 0,
x/√18 = √2,
x = 18√2.

Таким образом, мы нашли точки пересечения плоскости с осями x и y: A(0, 18√2, 0) и B(18√2, 0, 0).

Найдем длину отрезка AB, используя формулу для расстояния между двумя точками в пространстве:

AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²] = √[(18√2 - 0)² + (0 - 18√2)² + (0 - 0)²] = √[648 + 648] = √1296 = 36.

Итак, длина отрезка AB, отсекаемого от оси аппликат плоскостью, равна 36.