Для начала запишем правую часть тождества:

4 sin(α/2) cos(α/2) cos(β/2) = 2 2 sin(α/2) cos(α/2) cos(β/2) = 2 2 sinα/2 cosβ/2

Теперь преобразуем левую часть тождества по формулам суммы синусов:

sinα + sinβ + sin(α-β) = 2 sin((α+β)/2) cos((α-β)/2) + sin(α-β)
= 2 sin(π/2) cos((α-β)/2) + sin(α-β) = 2 cos((α-β)/2) + sin(α-β)

Теперь у нас есть два выражения, и чтобы доказать тождество, нужно показать, что они равны между собой:

2 cos((α-β)/2) + sin(α-β) = 2 sinα/2 cosβ/2

Преобразуем левую часть:

2 cos((α-β)/2) + sin(α-β) = 2 cos((α-β)/2) + 2 sin(α/2) cos(β/2) = 2(cos((α-β)/2) + sin(α/2) cos(β/2))

Теперь, чтобы доказать тождество, остаётся показать, что выражение в скобках справа равно 2 sinα/2 cosβ/2. Но это равенство следует из того факта, что синус и косинус половинного угла связаны формулой двойного угла.

Таким образом, доказано исходное тождество sinα + sinβ + sin(α-β) = 4 sin(α/2) cos(α/2) cos(β/2) или sinα + sinβ + sin(α-β) = 2 sinα/2 cosβ/2.