Для начала найдем общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

Y' + 2xy = -2x

Разделим обе части уравнения на 2x:

(Y'/2x) + y = -1

Теперь воспользуемся методом переменных для решения уравнения:

dy/dx + 2y/x = -2

Умножим обе части на x:

xdy + 2ydx = -2xdx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫xdy + ∫2ydx = -2∫xdx

x*y + y^2 = -x^2 + C

Теперь найдем значение постоянной С, используя начальное условие y(0) = 1:

0*1 + 1^2 = -0 + C
C = 1

Итак, общее решение дифференциального уравнения:

x*y + y^2 = -x^2 + 1

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1:

0*1 + 1^2 = -0^2 + 1
1 = 1

Частное решение: y = 1

Итак, искомое решение задачи Коши: y = 1.