Для того, чтобы корни уравнения были противоположными, нужно, чтобы их сумма была равна нулю.

Сумма корней равна:
[S = -\frac{B}{A}]

где A и B - коэффициенты при x в уравнении. В данном случае у нас уравнение вида:
[7x^{2} +(5k^{2} -6k-11)x-k^{4}=0]

Сравнивая с уравнением второй степени вида (ax^{2} + bx + c = 0), найдем A и B:
[A = 7]
[B = 5k^{2} - 6k - 11]

Сумма корней будет равна:
[\frac{6k - 5k^{2} + 11}{7} = 0]

Решая это уравнение, получим:
[6k - 5k^{2} + 11 = 0]
[5k^{2} - 6k - 11 = 0]

Теперь находим значения k, при каждом из которых это уравнение имеет корни.

а) Вычислим дискриминант:
[D = (-6)^{2} - 45(-11) = 36+220 = 256]

Так как D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня. Найдем их:
[k{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{256}}{10} = \frac{6 \pm 16}{10}]
[k{1} = \frac{22}{10} = 2.2]
[k_{2} = -\frac{10}{10} = -1]

Из этого видно, что из вариантов a) только при k = 1 сумма корней будет равна нулю, значит только в случае a) значение k = 1.

Следовательно, сумма всех значений k, при каждом из которых корни уравнения являются противоположными числами, равна 1.
Ответ: а) 1.