Для нахождения длины дуги кривой, заданной в полярной системе координат, можно воспользоваться формулой:

L = ∫(from φ=a to φ=b) sqrt(r^2 + (dr/dφ)^2) dφ

где r(φ) - уравнение кривой в полярных координатах, dr/dφ - производная этого уравнения по φ.

Для заданной кривой r(φ) = 1 - cos(φ).
Найдем производную этого уравнения:
dr/dφ = sin(φ)

Подставляем в формулу для длины дуги:

L = ∫(from φ=-π/3 to φ=-π/6) sqrt((1-cos(φ))^2 + sin^2(φ)) dφ
L = ∫(-π/3, -π/6) sqrt(1 - 2cos(φ) + cos^2(φ) + sin^2(φ)) dφ
L = ∫(-π/3, -π/6) sqrt(2 - 2cos(φ)) dφ
L = ∫(-π/3, -π/6) sqrt(4sin^2(φ)) dφ
L = ∫(-π/3, -π/6) 2|sin(φ)| dφ

Так как sin(φ) отрицателен на данном интервале, то |sin(φ)| = -sin(φ), получаем:

L = -2 ∫(-π/3, -π/6) sin(φ) dφ
L = 2(cos(-π/6) - cos(-π/3))
L = 2(√3/2 + 1/2 - 1/2 - 1/2)
L = 2√3/2
L = √3

Таким образом, длина дуги кривой, заданной уравнением r(φ) = 1-cos(φ), на интервале -π/3≤ φ≤-π/6 равна √3.