Найдем производную функции y=(x+1)^{2} \sqrt{x-1} с помощью правила цепочки:
y' = 2(x+1)\sqrt{x-1} + (x+1)^{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}
y' = 2(x+1)\sqrt{x-1} + \frac{1}{2}(x+1)^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x-1}}
y' = 2(x+1)\sqrt{x-1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x-1}}

Найдем производную функции y=\frac{1}{2} cos^{2}\frac{x}{2} с помощью правила цепочки и замечания, что (cos x)' = - sin x:
y' = - sin (\frac{x}{2})\cdot cos (\frac{x}{2})\cdot \frac{1}{2} \cdot 2
y' = - sin (\frac{x}{2})\cdot cos (\frac{x}{2})

Найдем производную функции y=sin(x) \cdot e^{x} с помощью правила производной произведения:
y' = sin(x) \cdot e^{x} + cos(x) \cdot e^{x}
y' = e^{x} (sin(x) + cos(x))

Найдем производную функции y=x^{2} \cdot e^{-2x} с помощью правила произведения функций:
y' = 2x \cdot e^{-2x} + x^{2} \cdot (-2) \cdot e^{-2x}
y' = 2x \cdot e^{-2x} - 2x^{2} \cdot e^{-2x}