1) Решим неравенство x^2 + 8x - 7 > 0:
Сначала найдем корни уравнения x^2 + 8x - 7 = 0.
D = 8^2 - 41(-7) = 64 + 28 = 92.
x1,2 = (-8 ± √92) / 2 = (-8 ± 2√23) / 2 = -4 ± √23.

Теперь разобьем числовую прямую на интервалы, соответствующие значениям x.

Для x < -4 - √23 неравенство x^2 + 8x - 7 > 0 не выполняется.
Для -4 - √23 < x < -4 + √23 неравенство x^2 + 8x - 7 > 0 выполняется.
Для x > -4 + √23 неравенство x^2 + 8x - 7 не выполняется.

Ответ: x принадлежит интервалу (-4 - √23, -4 + √23).

2) Решим уравнение |4x - 1| = 5:
Разберем два случая:

a) 4x - 1 = 5:
4x = 6,
x = 6 / 4,
x = 3 / 2.

b) 4x - 1 = -5:
4x = -4,
x = -1.

Ответ: x = 3 / 2 или x = -1.

3) Найдем длину отрезка (x + 1) / (x - 2) = 20:
Длина отрезка определяется формулой l = √((x2 - x1)^2),
где x1 = x + 1 и x2 = x - 2.

Тогда l = √((x - 2 - x - 1)^2),
l = √((-3)^2) = √9,
l = 3.

Ответ: Длина отрезка равна 3.

4) Найдем cos(x) и tg(x), если sin(x) = 2 / 3.

Используя тригонометрическую формулу sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1, найдем cos(x):
sin(x) = 2 / 3,
sin(x)^2 = 4 / 9,
cos(x)^2 = 1 - sin(x)^2 = 1 - 4 / 9 = 5 / 9,
cos(x) = ±√(5 / 9) = ±√5 / 3.

Используем тот факт, что tg(x) = sin(x) / cos(x):
tg(x) = (2 / 3) / (±√5 / 3) = 2 / ±√5 = ±2 / √5.

Ответ: cos(x) = ±√5 / 3, tg(x) = ±2 / √5.