Для того чтобы найти остаток при делении числа, состоящего из 300 семёрок, на 1001, можно воспользоваться следующим методом:

Сначала заметим, что 1001 = 7 11 13. Таким образом, нам нужно найти остаток при делении числа, состоящего из 300 семёрок, на каждую из этих трех чисел, а затем объединить эти остатки в итоговый остаток.

Остаток при делении числа из 300 семёрок на 7 будет равен 0, так как число состоит только из цифры 7.Остаток при делении на 11 можно найти, складывая числа попарно: 77 + 77 + ... + 77 (300 раз) = 1701. Остаток при делении 1701 на 11 равен 1.Остаток при делении на 13 можно найти, также складывая числа попарно: 77 + 77 + ... + 77 (300 раз) = 1701. Остаток при делении 1701 на 13 равен 3.

Итак, остаток при делении числа, состоящего из 300 семёрок, на 1001 будет равен результату объединения найденных остатков: 0 (по модулю 7), 1 (по модулю 11) и 3 (по модулю 13).

Итоговый остаток: 0 11 13 + 1 7 13 + 3 7 11 = 0 + 91 + 231 = 322.

Таким образом, остаток при делении числа, состоящего из 300 семёрок, на 1001 будет равен 322.