Пусть у нас есть трехчлен $x^2 + px + q$, где $p$ и $q$ - целые числа, делящиеся на 5. Также известно, что дискриминант $D$ положителен: $D = p^2 - 4q > 0$.

Сумма квадратов корней этого уравнения равна $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = p^2 - 2q$.

Мы хотим, чтобы данное выражение делилось на $5^n$ для некоторого натурального $n$. Таким образом, нам нужно найти максимальное $n$, такое что $p^2 - 2q$ делится на $5^n$.

Для начала заметим, что выражение $D = p^2 - 4q$ делится на 5 квадрат радикала дискриминанта, но так как дискриминант положительный, 4 разности квадратов абсолютных величин действительных корней приведут к делению на 5.

Воспользуемся этим наблюдением и выразим $4q$ через $p^2$, что даст нам:
$D = p^2 - q - q - q - q > 0$
Приведем все члены к одной стороне:
$p^2 - 5q > 0$
$p^2 - 2q > 3q$
$p^2 - 2q > 5^1$
$p^2 - 2q = 5$

Таким образом, наибольшее натуральное $n = 1$.