Для нахождения наименьшего значения функции необходимо найти экстремумы функции, то есть найти точки, где производная функции равна нулю.

Найдем производную функции y=5^x⁴-32x+45:
y' = 4 5^x⁴ ln(5) - 32.

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x:
4 5^x⁴ ln(5) - 32 = 0
4 5^x⁴ ln(5) = 32
5^x⁴ ln(5) = 8
x⁴ ln(5) = ln(8)
x⁴ = ln(8) / ln(5)
x = (ln(8) / ln(5))^(1/4)
x ≈ 1.414

Таким образом, x ≈ 1.414 - это точка, где функция имеет наименьшее значение.

Подставим найденное значение x обратно в исходную функцию, чтобы найти y:
y = 5^(1.414)⁴ - 32*1.414 + 45
y ≈ 5^2 - 45.008 + 45
y ≈ 25

Итак, наименьшее значение функции y=5^x⁴-32x+45 равно примерно 25.