Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке $$10;12$$ необходимо найти критические точки на этом отрезке.

Для этого найдем производную функции y по x:
y' = $x-12$e^$x-11$ + e^$x-11$ = e^$x-11$$x-12+1$ = e^$x-11$$x-11$.

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:
e^$x-11$$x-11$ = 0.

Это равенство выполняется только когда x = 11.

Теперь найдем значения функции в концах отрезка и в найденной критической точке:
y$10$ = $10-12$e^$10-11$ = -2e^$-1$,
y$11$ = 0,
y$12$ = $12-12$e^$12-11$ = 0.

Сравнивая найденные значения функции, наименьшее значение на отрезке $$10;12$$ равно -2e^$-1$.