Для доказательства данного неравенства, раскроем скобки в левой части неравенства и преобразуем выражение:
(a+2b)×((1÷2a)+(1÷b))
= a(1÷2a) + a(1÷b) + 2b(1÷2a) + 2b(1÷b)
= 1/2 + 1/b + 1 + 2/b
= 3/2 + 3/b

Теперь остается доказать, что 3/2 + 3/b >= 4 при условии a > 0 и b > 0:
3/2 + 3/b >= 4
Умножим все выражение на 2b (учитывая, что b>0):
3b + 6 >= 8b
6 >= 5b
b <= 6/5

Таким образом, неравенство (a+2b)×((1÷2a)+(1÷b)) >= 4 справедливо при условии, что а>0, b>0 и b <= 6/5.