а) Для того чтобы найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 31 декабря, мы можем воспользоваться формулой Бернулли.

Пусть X - число студентов, родившихся 31 декабря. Тогда вероятность того, что студент родился 31 декабря, равна p = 1/365.

Наиболее вероятное число студентов, родившихся 31 декабря, можно найти как наибольное целое число k, для которого P(X=k) >= P(X=k+1), где P(X=k) = C(3650,k) (1/365)^k (364/365)^(3650-k).

Подставляя значения, мы получаем, что наиболее вероятное число студентов, родившихся 31 декабря, равно 10.

б) Вероятность того, что один из студентов родился 1 января равна 1 - P(никто не родился 1 января) = 1 - (364/365)^3650 ≈ 0.631.

в) Для того чтобы найти вероятность того, что по крайней мере 3 студента имеют один и тот же день рождения, можно воспользоваться противоположным событием. То есть, вероятность того, что ни один студент не имеет одинаковый день рождения, равна (365/365) (364/365) (363/365) ... (3650/365).

Тогда вероятность того, что по крайней мере 3 студента имеют один и тот же день рождения равна 1 - (365/365) (364/365) (363/365) ... (3650/365) ≈ 0.992.

Итак, вероятность того, что по крайней мере 3 студента имеют один и тот же день рождения составляет около 0.992.