Для решения уравнения cos2x = cos(5π/2 + x) используем формулу косинуса разности:

cos2x = cos(5π/2)cos(x) - sin(5π/2)sin(x)

Так как cos(5π/2) = 0 и sin(5π/2) = -1, это уравнение упрощается до:

cos2x = -sin(x)

cos(2x) = -sin(x)

2cos(x) = -sin(x)

2cos(x) + sin(x) = 0

Теперь найдем корни этого уравнения в промежутке [5π/2 ; 4π]. В этом промежутке cos(x) < 0 и sin(x) < 0, поэтому уравнение 2cos(x) + sin(x) = 0 имеет единственное решение:

x = 3π

Итак, корень уравнения cos2x = cos(5π/2 + x) в промежутке [5π/2 ; 4π] равен x = 3π.