Обозначим длину и ширину прямоугольника как а и b, тогда периметр прямоугольника равен 2а + 2b = 38 см.

Также известно, что разница смежных сторон равна 7 см, значит |a - b| = 7 см.

Решим систему уравнений:

2а + 2b = 38
|a - b| = 7

Для начала рассмотрим случай, когда a > b:
a - b = 7

Тогда имеем систему:

2а + 2(а - 7) = 38
4а - 14 = 38
4а = 52
а = 13

Тогда b = 13 - 7 = 6

Площадь прямоугольника равна:
S = a b = 13 6 = 78 см²

Теперь рассмотрим случай, когда a < b:
b - a = 7

2b + 2(а - 7) = 38
4b - 14 = 38
4b = 52
b = 13

Тогда a = 13 - 7 = 6

Площадь прямоугольника также равна 78 см².

Итак, площадь прямоугольника равна 78 квадратных сантиметров.