Перепишем уравнение в более удобном виде:
1 + ctg(x) = cos(x) + 1/sin(x)
Перепишем ctg(x) как 1/tg(x) и sin(x) как 1/cos(x):
1 + 1/tg(x) = cos(x) + cos(x)
Упростим уравнение:
1 + 1/tg(x) = 2cos(x)
tg(x) = (1 + 1)/(2cos(x)) = 1/(2cos(x)) + 1
tg(x) = sin(x)/2 + 1
sin(x)/cos(x) = sin(x)/2 + 1
sin(x) = cos(x)(sin(x)/2 + 1)
sin(x) = sin(x)1/2 + cos(x)
Умножим обе части уравнения на 2:
2sin(x) = sin(x) + 2cos(x)
sin(x) = 2cos(x)
sin(x) = 2(1-sin^2(x))^0.5
10sin^2(x) = 4 - 4sin(x) + sin^2(x)
9sin^2(x) - 4sin(x) - 4 = 0
Теперь решим квадратное уравнение:
D = (-4)^2 - 49*(-4) = 16 + 144 = 160
sin(x) = (4 +- sqrt(160))/18
sin(x) = (4 +- 4sqrt(10))/18
sin(x) = (2 +- 2sqrt(10))/9

Таким образом, корни уравнения на отрезке [0;360] равны:
x1 = arcsin((2 + 2sqrt(10))/9)
x2 = arcsin((2 - 2sqrt(10))/9)