Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой:

r = (p - AB - BC - AC) / 2,

где p - полупериметр треугольника ABC, AB, BC, AC - стороны треугольника.

Из условия задачи нам известна высота треугольника ВН = 12 и отношения синусов углов A и C.

Поскольку A и C - острый углы, то в треугольнике ABC можно использовать тригонометрические функции по отношению к длинам сторон.

Зная, что sinA = 12:13 и sinC = 4:5, найдем длины сторон треугольника AB = 12, BC = 13 и AC = 5.

Посчитаем полупериметр p = (AB + BC + AC) / 2 = (12 + 13 + 5) / 2 = 15.

Теперь подставим все данные в формулу для радиуса вписанной окружности:

r = (15 - 12 - 13 - 5) / 2 = (-15) / 2 = -7.5.

Так как радиус не может быть отрицательным числом, ошибка обнаружилась на этапе подсчета длин сторон. Пересчитаем длины сторон, зная, что tanA = 12:13, что означает tanA = 12/13.

tanA = ВН/AB = 12/AB => AB = 12 (AB/13) => 13AB = 12*12 => AB = 12

tanC = ВН/AC = 12/AC => AC = 12 (AC/5) => 5AC = 1212 => AC = 1212 / 5 = 144/5

Получили, что стороны треугольника AB = 12, AC = 144/5, BC = 13

Посчитаем полупериметр:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (12 + 13 + 144/5) / 2 = (122/5) / 2 = 61/5

Теперь подставим все данные в формулу для радиуса вписанной окружности:

r = (61/5 - 12 - 13 - 144/5) / 2 = (61 - 60 - 144) / 10 = -143 / 10 = -14.3.

Так как радиус не может быть отрицательным числом, необходимо проверить подсчеты и исходные данные.