Для построения графика квадратичной функции y=x^2+6x+8 и изучения её свойств, нужно выполнить следующие шаги:

Найдем вершину параболы. Для этого воспользуемся формулой вершины параболы: x = -b/2a. В данном случае a = 1, b = 6, поэтому x = -6/(2*1) = -3. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-3, f(-3)), где f(x) = x^2+6x+8.

Найдем значение функции в вершине параболы: f(-3) = (-3)^2 + 6*(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-3, -1).

Построим график функции y = x^2 + 6x + 8. Для этого выберем несколько точек и посчитаем их значения функции. Например, при x = -5, -4, -2, 0, 1, 2, 4, 5 значения функции будут равны соответственно: 18, 8, 2, 8, 15, 20, 32, 43.

Нарисуем график, соединив точки. Получившийся график будет иметь форму параболы с вершиной в точке (-3, -1).

Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Так как коэффициент при x^2 равен 1 (положительный), то функция выпуклая.

Найдем точки пересечения графика с осями координат, для этого решим уравнение x^2 + 6x + 8 = 0. Дискриминант равен 6^2 - 418 = 36 - 32 = 4. Решая уравнение, найдем x1 = (-6 + 2)/2 = -2, x2 = (-6 - 2)/2 = -4. Таким образом, график пересекает ось OX в точках (-2, 0) и (-4, 0).

Таким образом, построив график квадратичной функции y=x^2+6x+8 и проанализировав его, можно сделать вывод, что функция является параболой, выпуклость, вершина находится в точке (-3, -1), график пересекает ось OX в точках (-2, 0) и (-4, 0).