Для начала рассмотрим корень [tex] \sqrt{21 - 8 \sqrt{5}} [/tex].

Заметим, что [tex] \sqrt{21 - 8 \sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} [/tex].

Теперь вычислим второе слагаемое: [tex] \frac{1}{ \sqrt{5} - 2} [/tex].

Прежде чем упрощать эту дробь, умножим и разделим числитель и знаменатель на сопряженное выражение [tex] \sqrt{5} + 2 [/tex]:
[tex] \frac{1}{ \sqrt{5} - 2} = \frac{1}{ \sqrt{5} - 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 2^2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{1} = \sqrt{5} + 2 [/tex].

Таким образом, получаем:
[tex] \sqrt{21 - 8 \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} - 2 + \sqrt{5} + 2 = 2\sqrt{5} [/tex].

Ответ: [tex] 2\sqrt{5} [/tex]