Для начала приведем правую часть дроби к общему знаменателю:

[tex] \frac{a}{x - 5} + \frac{b}{x + 2} = \frac{a(x + 2) + b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} [/tex]

Теперь приравняем обе части уравнения:

[tex] \frac{5x + 31}{(x - 5)x + 2} = \frac{a(x + 2) + b(x - 5)}{(x - 5)(x + 2)} [/tex]

Далее раскроем числитель на левой части:

5x + 31 = 5x - 12 + 3a + 2bx

Теперь можно видеть, что a = 5 и b = -6.

Подставим найденные значения обратно в исходное уравнение для проверки:

[tex] \frac{5x + 31}{(x - 5)x + 2} = \frac{5}{x - 5} - \frac{6}{x + 2} [/tex]

Таким образом, значения a = 5, b = -6 удовлетворяют исходному уравнению при всех допустимых значениях x.