Для того чтобы доказать, что число (71^{325} + 41^{135}) делится на 7, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма.

Сначала заметим, что (71 = 7 \cdot 10 + 1) и (41 = 5 \cdot 8 + 1).

Малая теорема Ферма гласит, что если (a) - это целое число, а (p) - простое число, то:
[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}]

Применим это к числу 71 по модулю 7 и к числу 41 по модулю 7:
(71^{6} \equiv 1 \pmod{7})
(41^{6} \equiv 1 \pmod{7})

Это означает, что:
(71^{325} \equiv 71^{6 \cdot 54 + 1} \equiv (71^{6})^{54} \cdot 71 \equiv 1^{54} \cdot 71 \equiv 1 \cdot 71 \equiv 7 \equiv 0 \pmod{7})

(41^{135} \equiv 41^{6 \cdot 22 + 3} \equiv (41^{6})^{22} \cdot 41^3 \equiv 1^{22} \cdot 41^3 \equiv 1 \cdot 41^3 \equiv 1 \cdot 41 \equiv 5 \pmod{7})

Таким образом, (71^{325} + 41^{135} \equiv 0 + 5 \equiv 5 \pmod{7}).

Отсюда следует, что число (71^{325} + 41^{135}) не делится на 7.