Для того чтобы корни уравнения были целыми числами, дискриминант должен быть квадратом целого числа.

Дискриминант D = a^2 - 412a = a^2 - 8a

D должен быть положительным, целым и квадратом целого числа. Таким образом, нам нужно определить все целые значения a, при которых a^2 - 8a = n^2, где n - целое число.

Преобразуем это уравнение:

a^2 - 8a - n^2 = 0
(a - 4)^2 - 16 - n^2 = 0
(a - 4 + n)(a - 4 - n) = 16

Теперь нам нужно подобрать такие целые числа (a - 4 + n) и (a - 4 - n), произведение которых равно 16. Возможные варианты для 16 это (1, 16), (2, 8), (-1, -16), (-2, -8), (16, 1), (8, 2), (-16, -1), (-8, -2).

Таким образом, все возможные значения для a это: 5, 12, -13, -6.