Пусть медиана треугольника, проведенная к стороне длиной 10 см, равна х см.

Так как медиана делит вписанную окружность на три равные части, то длина дуги, заключенной между точками пересечения окружности с медианой, будет равна 120 градусам.

Так как медиана является высотой треугольника, то она делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника, каждый из которых является прямоугольным. Поэтому угол (с буквой "х") в вершине треугольника равен 60 градусам.

Из угла в 30 градусов между медианой и стороной длиной 10 см найдем сторону треугольника, прилегающую к данному углу:

tg(30) = x / (10 / 2)
x = (10 / 2) * tg(30)
x = 5√3 см

Таким образом, длина медианы треугольника, проведенной к стороне длиной 10 см, составляет 5√3 см.