Разложим числитель на множители:
(tgx-sqrt3) = tanx - sqrt3 = (tanx - sqrt3)(1).

Разложим знаменатель на множители:
(3cosx+cos2x-1) = 3cosx + cos2x - 1 = (3cosx + 1)(cosx - 1).

Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:
(tgx-sqrt3)/(3cosx+cos2x-1) = (tanx - sqrt3)/(3cosx + 1)(cosx - 1) = 0.

Исключим из уравнения случаи, где den(a)=0
a=3cosx+1: den(a)=0 -> 3cosx+1=0 -> 3cosx=-1 -> cosx=-1/3
b=cosx-1; den(b)=0 -> b=cosx-1=0 -> cosx=1.

Решим оставшиеся уравнения:
tanx - sqrt3 = 0 -> tanx = sqrt3 -> x = π/3 + πn, n - целое число;
3cosx + 1 = 0 -> cosx = -1/3 -> корень для данного уравнения отсутствует, так как cosx не может быть равен -1/3;
cosx - 1 = 0 -> cosx = 1 -> корень для данного уравнения отсутствует, так как cosx не может быть равен 1.

Таким образом, корнями тригонометрического уравнения (tgx-sqrt3)/(3cosx+cos2x-1)=0 являются x = π/3 + πn, где n - целое число.