а) Данное уравнение можно переписать следующим образом:
(sin2x - sinx)(√2 + √(-2ctgx)) = 0

Факторизуем:
sinx(2cosx - 1)(√2 + √(-2ctgx)) = 0

1) sinx = 0
x = kπ, где k - целое число

2) 2cosx - 1 = 0
cosx = 1/2
x = π/3 + 2πk, 5π/3 + 2πk, где k - целое число

б) Для того чтобы найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [π/2; 3π], нужно проверить значения найденных корней на принадлежность данному отрезку:

1) x = π/3 + 2πk
При k = 0: x = π/3, что удовлетворяет условию
При k = 1: x = 7π/3, что не удовлетворяет условию

2) x = 5π/3 + 2πk
При k = 0: x = 5π/3, что удовлетворяет условию
При k = 1: x = 11π/3, что не удовлетворяет условию

Таким образом, корни уравнения для промежутка [π/2; 3π] равны x = π/3 и x = 5π/3.