Для исследования функции F(x) = x^4 - 4x^3 + 9 на экстремумы и точки перегиба, необходимо вычислить ее производные.

Найдем производную функции F(x):
F'(x) = 4x^3 - 12x^2

Найдем вторую производную функции F(x):
F''(x) = 12x^2 - 24x

Теперь определим экстремумы функции F(x):

Найдем точки экстремума:
4x^3 - 12x^2 = 0
4x^2(x - 3) = 0
x = 0, x = 3

Проверим найденные точки на экстремумы:
F''(0) = 0 - 0 = 0 (точка перегиба)
F''(3) = 12(3)^2 - 24(3) = 36 > 0 (локальный минимум)

Теперь определим точки перегиба функции F(x):

Найдем точки перегиба:
12x^2 - 24x = 0
12x(x - 2) = 0
x = 0, x = 2

Проверим найденные точки на точки перегиба:
F''(0) = 0 - 0 = 0 (точка перегиба)
F''(2) = 12(2)^2 - 24(2) = 24 > 0 (точка перегиба)

Итак, у функции F(x) = x^4 - 4x^3 + 9 есть точка перегиба при x = 0, точка перегиба при x = 2, локальный минимум при x = 3.