Данное уравнение можно решить следующим образом:

cos(8x) + sin(3π/2 - 2x) = 3sin(4π + 5x)

Заметим, что sin(3π/2 - 2x) = cos(2x)

Таким образом, уравнение примет следующий вид:

cos(8x) + cos(2x) = 3sin(4π + 5x)

Преобразуем правую часть уравнения:

3sin(4π + 5x) = 3sin(5x)

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя формулу для суммы косинусов:

cos(a) + cos(b) = 2cos((a + b)/2)cos((a - b)/2)

cos(8x) + cos(2x) = 2cos((8x + 2x)/2)cos((8x - 2x)/2) = 2cos(5x)cos(3x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

2cos(5x)cos(3x) = 3sin(5x)

Разделим обе части уравнения на 3sin(5x):

2cos(3x) = 3sin(3x)

Теперь разделим обе части на sin(3x):

2cot(3x) = 3

cot(3x) = 3/2

Найдем общее решение для cot(3x) = 3/2, которое принадлежит промежутку [0;π/2]:

cot(3x) = 3/2

3x = arccot(3/2)

3x = arctan(2/3)

x = arctan(2/3) / 3

Таким образом, корень уравнения cos(8x) + sin(3π/2 - 2x) = 3sin(4π + 5x) принадлежащий промежутку [0;π/2] равен x = arctan(2/3) / 3.