Найдем значения x, при которых каждый множитель равен нулю: sinx = 0 --> x = 0, π sinx - 1 = 0 --> sinx = 1, что невозможно, так как sinx принимает значения от -1 до 1.
Теперь построим таблицу знаков на интервалах −∞,0-∞, 0−∞,0, 0,π0, π0,π, π,+∞π, +∞π,+∞ и проверим знак выражения в каждом интервале.
В интервале −∞,0-∞, 0−∞,0: sinx < 0, sinx - 1 < 0 --> sinxsinx−1sinx - 1sinx−1 > 0 Таким образом, удовлетворяет неравенству.
В интервале 0,π0, π0,π: sinx > 0, sinx - 1 < 0 --> sinxsinx−1sinx - 1sinx−1 < 0 Таким образом, не удовлетворяет неравенству.
В интервале π,+∞π, +∞π,+∞: sinx < 0, sinx - 1 < 0 --> sinxsinx−1sinx - 1sinx−1 > 0 Таким образом, удовлетворяет неравенству.
Таким образом, решением неравенства sin^2x - sinx > 0 является x принадлежащее интервалам −∞,0-∞, 0−∞,0 и π,+∞π, +∞π,+∞.
Нам дано неравенство sin^2x - sinx > 0.
Факторизуем его как sinxsinx−1sinx - 1sinx−1 > 0.
Найдем значения x, при которых каждый множитель равен нулю:
sinx = 0 --> x = 0, π
sinx - 1 = 0 --> sinx = 1, что невозможно, так как sinx принимает значения от -1 до 1.
Теперь построим таблицу знаков на интервалах −∞,0-∞, 0−∞,0, 0,π0, π0,π, π,+∞π, +∞π,+∞ и проверим знак выражения в каждом интервале.
В интервале −∞,0-∞, 0−∞,0:
sinx < 0, sinx - 1 < 0 --> sinxsinx−1sinx - 1sinx−1 > 0
Таким образом, удовлетворяет неравенству.
В интервале 0,π0, π0,π:
sinx > 0, sinx - 1 < 0 --> sinxsinx−1sinx - 1sinx−1 < 0
Таким образом, не удовлетворяет неравенству.
В интервале π,+∞π, +∞π,+∞:
sinx < 0, sinx - 1 < 0 --> sinxsinx−1sinx - 1sinx−1 > 0
Таким образом, удовлетворяет неравенству.
Таким образом, решением неравенства sin^2x - sinx > 0 является x принадлежащее интервалам −∞,0-∞, 0−∞,0 и π,+∞π, +∞π,+∞.