Для того, чтобы доказать, что если α есть N, то выражение (α⁵-5α³+4α) делится на 120 без остатка, мы можем провести деление этого выражения на 120 и показать, что результат будет целым числом.

Имеем выражение:
(α⁵ - 5α³ + 4α) / 120

Заменим α на N:
(N⁵ - 5N³ + 4N) / 120

Теперь проверим, делится ли это выражение на 120 без остатка, поделив его:

(N⁵ - 5N³ + 4N) / 120 = N(N⁴ - 5N² + 4) / 120

Раскроем скобки в скобке:
N(N² - 4)(N² - 1) / 120

Теперь можем заметить, что все множители (N, N² - 4, N² - 1) либо делятся на 2, либо на 3, и либо на 5 без остатка, таким образом, результат деления будет целым числом.

Следовательно, если α есть N, то (α⁵-5α³+4α) делится на 120 без остатка.