Для начала возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

sinx = cos2x
(sin x)^2 = (cos 2x)^2
sin^2 x = cos^2 2x

Используем тригонометрическое тождество cos^2 θ = 1 - sin^2 θ, чтобы выразить cos^2 2x через sin^2 x:

sin^2 x = 1 - sin^2 2x

Теперь преобразуем данный результат к виду, подходящему для решения:

2sin^2 x = 1 - sin^2 2x
2sin^2 x = cos^2 2x

Произведем замену cos^2 2x на 1 - sin^2 x:

2sin^2 x = 1 - sin^2 x

Решим данное уравнение:

2sin^2 x = 1 - sin^2 x
2sin^2 x + sin^2 x = 1
3sin^2 x = 1
sin^2 x = 1/3
sin x = ±√(1/3)

Теперь найдем все возможные значения угла x на промежутке [2π ; 7π/2]:

1) sin x = √(1/3)
x = π/6, 5π/6

2) sin x = -√(1/3)
x = 5π/6, 11π/6

Таким образом, все корни уравнения sinx = cos2x на отрезке [2π ; 7π/2] равны π/6, 5π/6, 5π/6, 11π/6.