Решим первое неравенство:
x - 1 < 7x + 2
Перенесем все переменные в левую часть:
x - 7x < 2 + 1
-6x < 3
Разделим обе части на -6, меняя при этом знак неравенства на противоположный:
x > -1/2

Решим второе неравенство:
11x + 13 > x + 3
Перенесем все переменные в левую часть:
11x - x > 3 - 13
10x > -10
Разделим обе части на 10:
x > -1

Таким образом, для того чтобы выполнялись оба неравенства, x должно быть больше -1 и меньше -1/2. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этим условиям, это -1.

Ответ: -1.