Дано:
h = 6 см,
угол между апофемой и плоскостью основания равен 30°.

Обозначим сторону основания треугольника a, а длину апофемы - l.

Так как у нас правильная треугольная пирамида, то можем воспользоваться формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды.

Площадь основания пирамиды треугольной формы можно найти по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4,

Теперь можем найти апофему по теореме косинусов в прямоугольном треугольнике, где катетами являются половины стороны основания a/2 и высота h, а гипотенуза - апофема l. Угол между апофемой и плоскостью основания пирамиды равен 30°, что соответствует смежному с катетом углу в прямоугольном треугольнике:

cos(30°) = (a/2) / l,
l = (a/2) / cos(30°),
l = a / √3.

Теперь можем заменить найденные значения площади основания и апофемы в формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) [(a^2 √3) / 4] 6,
V = (a^2 √3 6) / 12,
V = a^2 √3 / 2.

Таким образом, объем пирамиды равен a^2 * √3 / 2.