Текстовая задача на производную Сумма высоты и длины окружности основания цилиндрической почтовой посылки не должна превышать 150 см. Найти размеры наибольшей по объему цилиндрической посылки, которую можно послать почтой.
Текстовая задача на производную Сумма высоты и длины окружности основания цилиндрической почтовой посылки не должна превышать 150 см. Найти размеры наибольшей по объему цилиндрической посылки, которую можно послать почтой.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим радиус основания цилиндра как r, высоту как h.
Так как сумма высоты и длины окружности окружности основания цилиндра не должна превышать 150 см: h + 2πr ≤ 150.
Объем цилиндра V = πr^2h.
Выразим h из первого уравнения: h = 150 - 2πr.
Подставим данное выражение для h в выражение для объема V: V = πr^2(150 - 2πr).
Найдем производную объема цилиндра по радиусу r: V' = 150πr - 4π^2r^2.
Найдем точку максимума объема, приравняв производную к нулю: 150πr - 4π^2r^2 = 0.
Решаем уравнение: r = 150/4π ≈ 11.96 см.
Теперь находим значение h: h = 150 - 2πr ≈ 102.17 см.
Таким образом, наибольший объем цилиндрической посылки, который можно отправить почтой, равен π(150/4π)^2(150 - 2π(150/4π)) ≈ 3764.75 см^3, при таких размерах: r ≈ 11.96 см, h ≈ 102.17 см.