Для начала докажем, что если sin(x) и cos(x) рациональны, то и tg(x/2) также будет рациональным.

Пусть sin(x) = a/b и cos(x) = c/d, где a, b, c, d - целые числа, b ≠ 0, d ≠ 0.

Тогда по определению тангенса:
tg(x/2) = sin(x)/ (1+cos(x)) = (a/b) / (1 + c/d) = (ad) / (bd + bc),

что также является рациональным числом.

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть tg(x/2) = q, где q - рациональное число.

Рассмотрим следующие тождества:
sin(x) = 2 * tg(x/2) / (1 + tg^2(x/2)),
cos(x) = (1 - tg^2(x/2)) / (1 + tg^2(x/2)).

Так как tg(x/2) - рациональное число, а операции умножения и деления рациональных чисел дадут рациональный результат, то и sin(x) и cos(x) также будут рациональными.

Таким образом, доказано, что для рациональности sin(x) и cos(x) необходимо и достаточно, чтобы tg(x/2) был рационален.