Для доказательства того, что выражение $7\cdot 7^{2n}+2\cdot 4^n$ всегда делится на 3 при $n$ - натуральном числе, можно воспользоваться методом математической индукции.

351 делится на 3.

Предположение индукции:
Предположим, что для произвольного натурального числа k, $7\cdot 7^{2k}+2\cdot 4^k$ делится на 3.

Индукционный переход:
Докажем, что выражение также делится на 3 при $n=k+1$:

$7\cdot 7^{2(k+1)}+2\cdot 4^{k+1}=7\cdot 7^{2k+2}+2\cdot 4\cdot 4^k=7\cdot 7^{2k}\cdot 49+8\cdot 4^k$.

Так как по предположению индукции $7\cdot 7^{2k}+2\cdot 4^k$ делится на 3, то можно записать:

$7\cdot 7^{2k}+2\cdot 4^k=3m$, где m - целое число.

Тогда выражение можно переписать:

$7\cdot 7^{2k}\cdot 49+8\cdot 4^k=3\cdot 49m+3\cdot 2\cdot 4^k=3(49m+2\cdot 4^k)$.

Таким образом, получаем, что выражение при $n=k+1$ делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение $7\cdot 7^{2n}+2\cdot 4^n$ всегда делится на 3 при $n$ - натуральном числе.