Для нахождения значения производной функции y = √(x^2 - 1) + √x в точке x0 = 1, сначала найдем значение производной каждого из слагаемых.

Найдем значение производной первого слагаемого √(x^2 - 1):
y1 = √(x^2 - 1)
y1' = (1/2) (x^2 - 1)^(-1/2) 2x
y1' = x / √(x^2 - 1)

Найдем значение производной второго слагаемого √x:
y2 = √x
y2' = (1/2) * x^(-1/2)
y2' = 1 / (2√x)

Теперь найдем значение производной функции y = √(x^2 - 1) + √x в точке x0 = 1, слагая значения производных первого и второго слагаемого:

y' = y1' + y2'
y' = x / √(x^2 - 1) + 1 / (2√x)

Подставляя x = 1, получаем:

y'(1) = 1 / √0 + 1 / (2√1)
y'(1) = 1 / 0 + 1 / 2
y'(1) = ∞ + 1/2
y'(1) = ∞

Таким образом, значение производной функции y = √(x^2 - 1) + √x в точке x0 = 1 равно бесконечности (∞).