Неравенство треугольника - это утверждение, что для любого треугольника каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть a, b, c - длины его сторон. Без ограничения общности можно предположить, что a ≥ b ≥ c.

Тогда справедливо следующее неравенство:
c + b > a, так как сумма меньших сторон всегда больше самой большой стороны.

Из этого неравенства можно выразить, что:
c < a - b.

Аналогично, верно и неравенство:
a + c > b, или c < b - a.

И наконец:
b + a > c, или c < a - b.

Таким образом, мы доказали, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.