Для решения задачи будем использовать формулу для выделяемой мощности в проводнике:

$$P=I^{2}R,$$

где $P$ — мощность, $I$ — ток, а $R$ — сопротивление.

Определим сопротивление кольца с делением на части 1:2.

Пусть полное сопротивление кольца $R$. По условию, длина кольца делится по отношению 1:2, что означает, что одна часть кольца $1часть$ имеет длину $\frac{1}{3}L$, а другая часть $2части$ — $\frac{2}{3}L$.

Сопротивления частей кольца:

Для части $R_1$ $длина(\frac{1}{3}L)$:
$$R_1=\frac{1}{3}R.$$

Для части $R_2$ $длина(\frac{2}{3}L)$:
$$R_2=\frac{2}{3}R.$$

Эти две части соединены последовательно, и общее сопротивление $R_s$:
$$R_s=R_1+R_2=\frac{1}{3}R+\frac{2}{3}R=R.$$

Мощность, выделяющаяся в этом случае: $$P=I^{2}R=9^{2}R=81R.$$

У нас по условию задачи:
$$81R=108\Rightarrow R=\frac{108}{81}=\frac{4}{3}\Omega .$$

Теперь определим мощность, когда контакты расположены по диаметру кольца:

При этом варианте длина кольца пополам, и кольцо делится на две равные части. Сопротивление каждой части:
$$R^{\prime }=\frac{1}{2}R.$$

Общее сопротивление при данном делении:
$$R_s^{\prime }=R^{\prime }+R^{\prime }=\frac{1}{2}R+\frac{1}{2}R=R.$$

Т.о. мощность будет:
$$P^{\prime }=I^2{R}_s^{\prime }=I^{2}R=9^{2}R=81R.$$

Заменяя $R$:
$$P^{\prime }=81\cdot \frac{4}{3}=108Вт$$.

Таким образом, мощность, выделяющаяся при другом расположении контактов, останется такой же и составит 108 Вт.