Чтобы найти длины медиан треугольника ABC, сначала необходимо определить координаты середины каждой из сторон треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Находим середины сторон:

Середина стороны AB:
[
M_{AB} = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{6 + 3}{2}, \frac{9 + (-5)}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, 2 \right) = (4.5, 2)
]

Середина стороны BC:
[
M_{BC} = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + (-5)}{2}, \frac{-5 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (-1, -1)
]

Середина стороны AC:
[
M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{6 + (-5)}{2}, \frac{9 + 3}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 6 \right) = (0.5, 6)
]

Находим длины медиан:

Медиана из A к ( M_{BC} ): [
L{AM{BC}} = \sqrt{(xA - x{M_{BC}})^2 + (yA - y{M_{BC}})^2} = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (9 - (-1))^2} = \sqrt{(6 + 1)^2 + (9 + 1)^2} = \sqrt{7^2 + 10^2}
]
[
= \sqrt{49 + 100} = \sqrt{149}
]

Медиана из B к ( M_{AC} ): [
L{BM{AC}} = \sqrt{(xB - x{M_{AC}})^2 + (yB - y{M_{AC}})^2} = \sqrt{(3 - 0.5)^2 + (-5 - 6)^2} = \sqrt{(2.5)^2 + (-11)^2}
]
[
= \sqrt{6.25 + 121} = \sqrt{127.25}
]

Медиана из C к ( M_{AB} ): [
L{CM{AB}} = \sqrt{(xC - x{M_{AB}})^2 + (yC - y{M_{AB}})^2} = \sqrt{(-5 - 4.5)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-9.5)^2 + (1)^2}
]
[
= \sqrt{90.25 + 1} = \sqrt{91.25}
]

Итоговые длины медиан:

Длина медианы из A: (L{AM{BC}} = \sqrt{149})Длина медианы из B: (L{BM{AC}} = \sqrt{127.25})Длина медианы из C: (L{CM{AB}} = \sqrt{91.25})

Таким образом, длины медиан треугольника ABC равны ( \sqrt{149} ), ( \sqrt{127.25} ) и ( \sqrt{91.25} ).