Для решения треугольника, необходимо определить его стороны и углы по заданным параметрам. Обычно обозначаемые буквы s, t и k могут обозначать различные параметры треугольника, например, сторони или высоты.

Из вашего обозначения не ясно, что именно представляют собой эти значения. Однако рассмотрим вариант, где:

( s ) — это длина стороны,( t ) — это другая сторона,( k ) — это третья сторона.

Можно предположить, что ( s = a ), ( t = b ), а ( k = c ).

В этом случае, у нас имеются следующие данные:

( a = \sqrt{5} )( b = 4\sqrt{5} )( c = \sqrt{65} )

Для проверки существования треугольника, необходимо выполнить неравенство треугольника:

( a + b > c )( a + c > b )( b + c > a )

Проверим эти неравенства:

( \sqrt{5} + 4\sqrt{5} > \sqrt{65} )

( 5\sqrt{5} > \sqrt{65} )Поскольку ( \sqrt{65} = \sqrt{5 \cdot 13} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} ), перезапишем неравенство:( 5\sqrt{5} > \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} )Это возможно, если ( 5 > \sqrt{13} ), что верно (приблизительно 3.6).

( \sqrt{5} + \sqrt{65} > 4\sqrt{5} )

( \sqrt{5} + \sqrt{65} > 4\sqrt{5} )Это можно перезаписать как ( \sqrt{65} > 3\sqrt{5} ).Давайте сравним: ( \sqrt{65} = \sqrt{5 \cdot 13} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} ).Это возможно, если ( \sqrt{13} > 3 ), что верно.

( 4\sqrt{5} + \sqrt{65} > \sqrt{5} )

Это утверждение будет всегда верным, так как обе стороны положительные.

Теперь, когда мы подтвердили, что неравенства треугольника выполнены, мы можем рассчитать углы, используя закон косинусов для нахождения углов.

Например, нахождение угла ( C ) между сторонами ( a ) и ( b ):

[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
Подставим значения:
[
(\sqrt{65})^2 = (\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(4\sqrt{5}) \cdot \cos(C)
]
Получаем:
[
65 = 5 + 80 - 8\cdot5 \cdot \cos(C)
]
[
65 = 85 - 40\cdot \cos(C)
]
[
40\cdot \cos(C) = 20
]
[
\cos(C) = \frac{1}{2}
]
Угол ( C = 60^\circ ).

Аналогично можно найти другие углы ( A ) и ( B ) с помощью аналогичных вычислений.

Если вы можете уточнить, что именно означают обозначения ( s ), ( t ), и ( k ), я смогу дать более точный ответ или рекомендации.