Рассмотрим прямую призму ABC A1 B1 C1 с основанием в виде прямоугольного треугольника ABC. Дано:

AC = 6AB = 8высота призмы (AA1) = 15

Сначала найдем длину гипотенузы BC:

[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10
]

Теперь координаты вершин треугольника ABC можно определить следующим образом:

A(0, 0, 0)B(8, 0, 0)C(0, 6, 0)

Вершины A1, B1 и C1 будут находиться на одной высоте z = 15:

A1(0, 0, 15)B1(8, 0, 15)C1(0, 6, 15)

Теперь найдем векторы плоскости ABC и плоскости A1B1C1.

Для плоскости ABC возьмём два вектора: AB и AC:

Вектор AB:
[
\vec{AB} = B - A = (8, 0, 0) - (0, 0, 0) = (8, 0, 0)
]

Вектор AC:
[
\vec{AC} = C - A = (0, 6, 0) - (0, 0, 0) = (0, 6, 0)
]

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости ABC, используя векторное произведение AB и AC:
[
\vec{N{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{AC}
]
[
\vec{N{ABC}} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
8 & 0 & 0 \
0 & 6 & 0
\end{vmatrix}
= (0 \cdot 0 - 0 \cdot 6)\hat{i} - (8 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\hat{j} + (8 \cdot 6 - 0 \cdot 0)\hat{k} = (0, 0, 48)
]

Таким образом, нормальный вектор к плоскости ABC:
[
\vec{N_{ABC}} = (0, 0, 48)
]

Плоскость A1B1C1 является параллельной плоскости ABC и также определяется своим нормальным вектором (плоскости, находящиеся на одинаковом уровне по оси Z, будут иметь одинаковый нормальный вектор).

Теперь найдём угол между плоскостями. Углы между плоскостями определяются по нормальным векторам. Так как нормальные векторы параллельны, угол между плоскостями ABC и A1B1C1 равен 0°.

Теперь рассмотрим угол между плоскостью ABC и плоскостью A1BC. Для определения угла используем нормальный вектор плоскости, заданной вершинами A1, B и C.

Для определения нормального вектора плоскости A1BC нам также понадобятся два вектора:

Вектор A1B:
[
\vec{A1B} = B - A1 = (8, 0, 0) - (0, 0, 15) = (8, 0, -15)
]

Вектор A1C:
[
\vec{A1C} = C - A1 = (0, 6, 0) - (0, 0, 15) = (0, 6, -15)
]

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости A1BC так же, как и раньше:
[
\vec{N{A1BC}} = \vec{A1B} \times \vec{A1C}
]
[
\vec{N{A1BC}} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
8 & 0 & -15 \
0 & 6 & -15
\end{vmatrix}
= ((0 \cdot -15) - (6 \cdot -15))\hat{i} - ((8 \cdot -15) - (0 \cdot 0))\hat{j} + ((8 \cdot 6) - (0 \cdot 0))\hat{k}
]
[
= (90, 120, 48)
]

Теперь углы между нормальными векторами (\vec{N{ABC}}) и (\vec{N{A1BC}}) можно найти с помощью скалярного произведения:
[
\cos \phi = \frac{\vec{N{ABC}} \cdot \vec{N{A1BC}}}{|\vec{N{ABC}}||\vec{N{A1BC}}|}
]
где (\vec{N{ABC}} = (0, 0, 48)) и (\vec{N{A1BC}} = (90, 120, 48)).

Скалярное произведение:
[
\vec{N{ABC}} \cdot \vec{N{A1BC}} = 0 \cdot 90 + 0 \cdot 120 + 48 \cdot 48 = 2304
]

Длина вектора (N{ABC}):
[
|\vec{N{ABC}}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 48^2} = 48
]

Длина вектора (N{A1BC}):
[
|\vec{N{A1BC}}| = \sqrt{90^2 + 120^2 + 48^2} = \sqrt{8100 + 14400 + 2304} = \sqrt{23804} \approx 154.1
]

Теперь подставим в формулу:
[
\cos \phi = \frac{2304}{48 \cdot 154.1} = \frac{2304}{7396.8} \approx 0.311
]

Теперь найдём угол φ:
[
\phi \approx \cos^{-1}(0.311) \approx 72.3 \text{ градуса}
]

Таким образом, угол между плоскостями ABC и A1BC примерно равен 72.3°.