Все приведённые вами предложения являются сложными. Вот краткий анализ каждого из них:

Я был занят, потому что делал уроки. — сложное предложение с придаточной частью причины.Я не пошёл сегодня в школу, оттого что заболел. — сложное предложение с придаточной частью причины.Я включил компьютер, после того как сделал уроки. — сложное предложение с придаточной частью времени.Они распределились на команды, затем чтобы сыграть в футбол. — сложное предложение с придаточной частью цели.По мере того как начинался дождь, мы сидели в доме. — сложное предложение с придаточной частью времени.Мы начали строить дом, с тех пор как купили участок. — сложное предложение с придаточной частью времени.Я ухаживал за котёнком, потому что мамы не было дома. — сложное предложение с придаточной частью причины.Мы очень устали, оттого что работали весь день. — сложное предложение с придаточной частью причины.Кот проснулся, оттого что бутылка упала со стола. — сложное предложение с придаточной частью причины.Ребята вышли на улицу, после того как прошёл дождь. — сложное предложение с придаточной частью времени.

Таким образом, все перечисленные предложения действительно являются сложными.