Кратко — по пунктам, с разбором двух предложений.

1) Морфология $форма$

«Прочитав книгу, он уснул.» — «прочитав» — деепричастие $отглаголапрочитать,совершенныйвид$. Это особая глагольная форма $несловоизменяемаяпородам/числам$, выражающая добавочное действие.«При чтении книги он уснул.» — «чтение» — отглагольное существительное $деятельность,абстрактноедействие$. Оно склоняется как имя существительное $здесь:при+предложныйпадеж—чтении$.

2) Синтаксис $управлениеирольвпредложении$

Деепричастие — обстоятельство образа/времени/предшествования: «прочитав книгу» — отвечает на вопрос «что сделав?», синтаксически — деепричастный оборот, зависимое слово «книгу» стоит в винительном падеже $управлениесамогодеепричастия/глагола:прочитавчто?—книгу$.
Важное требование: логический субъект деепричастного оборота должен совпадать с подлежащим главного предложения $т.н.«согласованиеподлежащего»$. Нельзя: *«Прочитав книгу, в комнате потух свет.» $подлежащеенето$.При + отглагольное существительное — также обстоятельственный оборот, но это не деепричастие, а предлог + существительное: при $чтении$ governs предложный падеж $«причтении»=когдачитают$. Внутри этой словосочетания «книги» стоит в родительном падеже: чтение чего? — книги. Здесь нет требования совпадения субъекта: «При чтении книги свет погас» — в таком предложении не возникает грамматической ошибки, потому что оборот не «привязан» к субъекту как деепричастие.

3) Пунктуация

Деепричастный оборот обособляется запятой: Прочитав книгу, он уснул. $обязательнаязапятаяприегорасположениипередглавнымпредложением$.Оборот с при + существительным запятой обычно не отделяется: При чтении книги он уснул. $запятаятолькоприособойинтонации/вводномчлене,нонепоправилуобособления$.

4) Смысловые $аспектные$ различия и стилистика

«Прочитав книгу» $деепричастиесовершенноговида$ выражает законченное действие, предшествующее основному: он сначала прочёл $дочитал$, затем заснул. Это динамичнее, более конкретно, часто описывает последовательность действий.«При чтении книги» $при+существительное$ указывает на обстоятельство времени или фона: во время чтения он заснул. Это либо одновременность, либо фон, более нейтрально/описательно; конструкция подходит и для общих утверждений $привычек$: «При чтении книг я часто засыпаю».

5) Наглядная параллель

Прочитав книгу $деепричастие,винительныйобъект$ — действие завершилось, субъект тот же → запятая.При чтении книги $при+предложн.формачитать\to чтении+родит.объект$ — обстоятельство времени/фона, без требования совпадения агента → запятая не ставится.

6) Дополнительно: типичные ошибки

Нельзя ставить деепричастный оборот, если его субъект не совпадает с подлежащим главного предложения $висячеедеепричастие$.Нельзя заменять «при чтении» на «прочитав» без изменения смысла: «прочитав» → законченное действие; «при чтении» → во время/в процессе.

Итого: морфологически — деепричастие $прочитав$ vs отглагольное существительное $чтение$; синтаксически — оба выражают обстоятельство, но деепричастный оборот управляет объектом в винительном и требует совпадения субъекта, обособляется запятой; при + существительное — предлог+существительное $причтениикниги:при+предложный,книга—родительный$, не обособляется, чаще выражает фон/время или привычку, стилистически нейтральнее.