Исправленный вариант:
Он хотел уйти, но не смог. Тогда он решил остаться.

Пояснение внесённых изменений:

Замена фрагмента "и тогда решил остаться." на "Тогда он решил остаться."

Проблема 1 — прописная/строчная буква: после точки новая фраза должна начинаться с заглавной буквы. В исходном тексте стояла строчная "и", что является орфографической ошибкой.Проблема 2 — отсутствие подлежащего: предложение "И тогда решил остаться." грамматически возможно как эллиптическое $подлежащееопущено$, но в ней отсутствует явное подлежащее. Для ясности и для строгой грамматики я добавил "он".Стилевое замечание: начинать новое предложение с союза "и" допустимо в разговорной речи и в художественном тексте, но в нейтральной письменной речи чаще предпочтительнее избежать такого начала или перестроить предложение. Поэтому я использовал "Тогда" — это устраняет одновременно и проблему прописной буквы, и лишний союз.

Сохранение запятой перед "но":

В сочетании "Он хотел уйти, но не смог" запятая перед "но" ставится по правилу разделения частей сложного предложения с противительным союзом. Это правильно и было сохранено.

Альтернативные корректные варианты $назаметку$:

Можно оставить союз "и" и сделать грамматически корректную форму: "Он хотел уйти, но не смог. И тогда он решил остаться." — здесь исправлена заглавная буква и добавлено подлежащее.Можно соединить фразы в одно предложение: "Он хотел уйти, но не смог, и тогда решил остаться." — в этом варианте тоже желательно сохранить подлежащее: "…и тогда он решил остаться." Запятая перед "и" ставится, поскольку соединяются самостоятельные грамматические основы.

Таким образом, в основном я исправил нарушение правила о начале предложения с заглавной буквы и восстанавливал явное подлежащее для полноты и ясности высказывания; запятая перед "но" оставлена, так как она корректна.