1) В предложении «Он бежал бегом»
- Часть речи: наречие (обстоятельство образа действия).
- Морфологические признаки: неизменяемое, отвечает на вопрос «как?», не имеет степеней сравнения, синтаксически — обстоятельство образа действия.
- Аргументация: можно заменить другим наречием образа действия («Он бежал быстро/торопливо»); слово поясняет способ действия, а не выполняет функцию имени (нет согласования по падежам/роду/числу).
2) В предложении «Это было сказано бегом»
- Часть речи: наречие (обстоятельство образа действия/образа изложения).
- Морфологические признаки: те же — неизменяемое, отвечает на вопрос «как?», нет степеней сравнения.
- Аргументация: «как было сказано? — бегом» (т.е. быстро, вкратце); замена на иные наречия («сказано вскользь/кратко/поспешно») сохраняет смысл.
Возможная омонимия / значения
- Литеральное значение «в состоянии бега, бегом» — способ движения (часто с глаголами движения): «Он шёл/прыгал бегом» (буквальное).
- Переносное значение «коротко, вскользь, поспешно» — способ совершения действия не обязательно связанный с физическим бегом: «Сказано бегом» = «сказано вскользь/вкратце».
- Интеръективное/повелительное употребление «Бегом!» — побуждение спешить (разг., часть речи традиционно рассматривают как вводное/частицу/междометие в экспрессивном употреблении).
Происхождение: наречие исторически образовано от существительного «бег» (инструменталь/схождение «бег-ом») и стало фиксированным наречным выражением; поэтому формально совпадает с формой инструмента существительного, но в данных предложениях выполняет роль наречия.