Кратко правило и смысл:
- Орфография зависит от того, какой местоименный корень в основе: $всё$ (неутральное «всё, это») → пишем «всё-таки»; $все$ (множественное «все люди/вещи») → пишем «все-таки».
- Значение как частицы «всё же, тем не менее» часто употребляется в разговорной речи обоими написаниями; нормативно предпочтительнее подбирать форму по смысловой основе (неутральное «всё» — «всё-таки», множественное «все» — «все-таки»).
В каких значениях допустимы оба варианта (частица «тем не менее»): по $2$ примера (варианты взаимозаменяемы с небольшой стилистической разницей)
1) «Всё-таки / Все-таки стоит попробовать ещё раз.» — здесь частица выражает уступку; оба варианта чаще допустимы, «всё-таки» нейтральнее в письменной речи.
2) «Всё-таки / Все-таки он ответил на письмо.» — оба варианта передают значение «в конце концов, всё же», но «всё-таки» чаще встречается в книжной речи, «все-таки» — в разговорной.
Примеры, где предпочтительно/обязательно «всё-таки» (корень $всё$, неутрал.) — по $2$:
1) «Всё-таки это было важно для проекта.» — здесь «это» = «всё» (неутрально), «все-таки» с «е» звучало бы не по смыслу.
2) «Я всё-таки согласился помочь.» — говорящий (я) подчёркивает своё действие; замена на «все-таки» искажает смысл или звучит неверно.
Примеры, где предпочтительно/обязательно «все-таки» (корень $все$, мн.число) — по $2$:
1) «Все-таки они пришли на встречу.» — если имеется в виду «все они (люди)», то правильно «все-таки».
2) «Вы все-таки решили ехать вместе?» — обращение к группе: «все» = мн. число; «всё-таки» здесь некорректно.
Вывод: при сомнении определяйте, что стоит в основе — $всё$ (неутральное «всё/это») или $все$ (мн. «все люди»). В роли нейтральной частицы «тем не менее» оба варианта часто встречаются, но в официальной/письменной речи лучше выбирать «всё-таки», если нет явного множественного смысла.