Правильные варианты и объяснения.
Варианты оформления предложения:
$1$ Прямая речь (дословно):
Она спросила: «Хотите ли вы пойти со мной?»
Пояснение: после слов автора ставится двоеточие, прямая речь берётся в кавычки; первая буква прямой речи с заглавной; вопросительный знак ставится внутри кавычек.
$2$ Косвенная речь (передача содержания):
Она спросила, хотите ли вы пойти со мной.
Пояснение: здесь это не цитата, а придаточное изъяснительное (косвенный вопрос), поэтому вместо двоеточия ставится запятая — придаточное присоединяется как обычное; слово «ли» вводит придаточное, перед ним ставится запятая; в косвенной речи на концe ставится точка (вопросительный знак не ставится), и первая буква придаточного — строчная.
Дополнительно:
$3$ Если прямая речь стоит перед словами автора:
«Хотите ли вы пойти со мной?» — спросила она.
Пояснение: при таком порядке перед словами автора ставится тире; вопросительный знак остаётся внутри прямой речи, после тире запятая не ставится.
Кратко о двоеточии и запятых:
- Двоеточие ставят, когда слова автора предваряют прямую речь (вводят дословную речь).
- Запятая ставится, когда после слов автора идёт придаточное (косвенная речь, изъяснительное предложение), в том числе начинающееся с «ли».
- В косвенной речи не сохраняют кавычки и вопросительный знак (предложение завершается как утвердительное по пунктуации).