Нужна: «По-видимому, он забыл, что обещал.»
Объяснение: «по-видимому» — вводное слово, выражающее предположение, поэтому выделяется запятой. Проверка: можно убрать или заменить на «видимо/наверное» без изменения смысла — это характерно для вводных слов. Исключение — редкие случаи, когда словосочетание выступает обстоятельством (смысл «судя по виду»), тогда запятая не требуется, но в данном предложении это вводное.